Matemática Financeira: Conceitos de fluxo de caixa

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FLUXO DE CAIXA

Um fluxo de caixa representa uma série de pagamentos ou de recebimentos que se estima ocorrer em determinado intervalo de tempo.

É bastante comum na prática, defrontar-se com operações financeiras que se representam por fluxo de caixa. Por exemplo empréstimos e financiamentos de diferentes tipos costumam envolver uma sequência de desembolsos periódicos de caixa. De maneiras idênticas, têm-se os fluxos de pagamentos ou recebimentos de alugueis, de prestações oriundas de compras a prazo, de investimentos empresariais, de dividendos, etc.

Os fluxos de caixa podem ser verificados das mais variadas formas e tipos de termos de periódicos de ocorrência (postecipados, antecipados ou diferidos); de periodicidade (períodos iguais entre si ou diferentes); de duração (limitados ou indeferidos) e de valores (constantes ou variados)

Com o intuito de melhor estudar as formulações e aplicações práticas do fluxo de caixa, como um dos mais importantes temas da matemática financeira, o assunto será tratado separadamente. A primeira parte dedica-se ao estudo do fluxo de caixa uniforme, o qual apresenta uma característica de forma padrão. É entendido como modelo padrão de uma sucessão de pagamentos ou recebimentos.

A sequência dos demais modelos dos fluxos de caixa são definidas como não convencionais.

Os termos dos fluxos de caixa são genericamente simbolizados por PMT, sendo as demais variáveis simbolizadas por PV (capital) FV (montante), n (tempo) e i (taxa).

Modelo padrão

  • Período de ocorrência: postecipados, antecipados e diferidos;
  • Periodicidade: Periódicos e não periódicos;
  • Duração: Limitados e indeterminados;
  • Valores: Constantes e variáveis

O modelo padrão de um fluxo de caixa, conforme grifado no esquema acima, é verificado quando os termos de sucessão de pagamentos ou recebimentos apresentam, ao mesmo tempo, as seguintes classificações:

  1. Postecipados: indica que os fluxos de pagamentos ou recebimentos começam a ocorrer ao final do primeiro intervalo de tempo. Por exemplo, não havendo carência, a prestação inicial de um financiamento é paga ao final do primeiro período do prazo contratado, vencendo as demais em intervalos sequenciais.
  2. Limitados: O prazo total do fluxo de caixa é conhecido a priori, sendo finito o número de termos (pagamentos e recebimentos). Por exemplo, um financiamento por 2 anos envolve desembolsos neste intervalo fixo de tempo, sendo consequentemente limitado o número de termos do fluxo de caixa (prestações de financiamentos)
  3. Constantes: indica que os valores dos termos que compõe o fluxo de caixa sal iguais entre si
  4. Periódicos: É quando os intervalos entre os termos do fluxo de caixa são idênticos entre si. Ou seja, o tempo entre um fluxo de caixa e outro é constante

Graficamente, o fluxo de caixa uniforme (padrão) é representado da seguinte forma:

Capturar

A expressão é denominada de Fator de valor presente, sendo representada pela matemática financeira da forma seguinte:

FPV (i,n)

Com isso, a formulação genérica do valor presente assume a expressão:

PV = PMT x FPV (i,n)

Observe que FPV, conforme apresentado na formulação anterior equipara-se à soma de uma progressão geométrica (PG) nos termos sendo o primeiro termo (a1) o segundo termo an e o terceiro termo q.

A fórmula de cálculo de uma PG é dada por:

Capturar

Substituindo-se os valores da expressão na soma dos termos de uma PG, tem-se:

Capturar

Seguindo a sequência de dedução, adotada por Mathias e Gome1 e indicada por Assaf2, multiplicando-se o numerador e denominador por (1+ i), temos:

Capturar

A formulação, é muitas das vezes representada da maneira abaixo:

Capturar

Mediante o FPV, a fórmula do valor presente de um fluxo de caixa uniforme é apresentada da maneira seguinte:

Capturar

Exemplos:

  • Um determinado bem é vendido em 7 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de R$ 4.000,00. Para uma taxa de juros de 2,6% ao mês, até que preço compensa pagar o bem a vista?

Solução:

PMT: 4.000,00

i: 2,6% a.m.

n: 7

Capturar

O valor presente pode ser calculado pela atualização de cada um dos termos do fluxo, ou seja:

Capturar

O valor presente também pode ser calculado pela utilização da calculadora HP12C

R$ 4.000,00 (enter PMT)

2,6% digitar i

7 digitar n

Apertar PV e aguardar o resultado

R$ 25.301.17

 

VALOR FUTURO E FATOR DE VALOR FUTURO

O valor futuro, para determinada taxa de juros por período, é a soma dos montantes de cada um dos termos da série de pagamentos ou recebimentos e graficamente temos a seguinte representação

Capturar

O valor futuro pelo padrão ocorre junto com o último termo do fluxo de caixa. Capitalizando-se cada um dos valores da série, apura-se a seguinte expressão:

Capturar

Idêntica, a expressão entre colchetes é definida por Fator de valor futuro e representada por:

FFV (i,n)

A formulação genérica do valor futuro de um fluxo de caixa uniforme é expressa da forma seguinte:

FV = PMT x FFV (i,n)

Pela mesma maneira em relação ao desenvolvimento da fórmula do valor presente, observe que a expressão do FFV representa uma soma de termos de uma progressão geométrica de uma PG

Capturar

Exemplo: Calcular o montante acumulado ao final do sétimo mês de uma sequência de 7 depósitos mensais e sucessivos no valor de R$ 800,00 cada, numa conta de poupança que remunera a uma taxa de juros de 2,1% ao mês.

EXECÍCIOS PARA RESOLUÇÃO

1) Uma mercadoria é vendida a prazo em 5 pagamentos mensais de R$ 700,00, sendo 3,5% ao mês a taxa, determinar seu preço a vista admitindo que:

2) Um veículo novo está sendo vendido por R$ 4.000,00 de entrada mais 6 parcelas mensais, iguais e consecutivas de R$ 3.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 5,5% ao mês. Determinar até que preço interessa comprar o veículo a vista?

3) Um empréstimo de R$ 20.000,00 é concedido para pagamentos em 5 prestações mensais, iguais e sucessivas de R$ 4.300,00. Calcular o custo mensal do empréstimo (taxa de financiamento).

4) Determinar o valor presente de um fluxo de caixa de 12 pagamentos trimestrais, iguais e sucessivos de R$ 700,00, sendo a taxa de juros igual a 1,7% a.m.

a) O primeiro pagamento é feito no ato da compra

b) O segundo pagamento é feito ao final do primeiro mês

c) O segundo pagamento é feito no final do segundo mês

5) Uma pessoa irá necessitar de R$ 7.000,00 daqui a 10 meses. Quanto deverá depositar mensalmente num fundo de pensão que rende 1,7% ao mês

6) Uma pessoa possui hoje R$ 50.000,00 em dinheiro e uma capacidade de poupança de R$ 3.000,00 mensais nos próximos 4 meses seguintes ao trimestre. Se esse fluxo de poupança for depositado, mensalmente num fundo que rende 2,5% ao mês, determinar quanto essa pessoa terá acumulado ao final de:

a) 10 meses

b) 15 meses

7) Um veículo, cujo preço a vista é de R$ 30.000,00, está sendo vendido nas seguintes condições:

a) Entrada de 30% e saldo em 6 prestações mensais, iguais e sucessivas, vencendo a primeira daqui a dois meses.

Determinar o valor de cada prestação, admitindo uma taxa de juros de 2% ao mês

8) Um produto está sendo vendido por R$ 1.800,00 a vista, ou em 3 pagamentos mensais e iguais de R$ 650,00. Estando atualmente em 3,3% ao mês a taxa de juros de mercado, pede-se avaliar a melhor alternativa da compra.

Calcular o valor presente de cada um dos fluxos de caixa abaixo

a) 48 parcelas mensais, iguais e sucessivas de R$ 4.000,00. Sendo a taxa de juros de 1,2% ao mês

b) 14 prestações trimestrais, iguais e sucessivas de R$ 7.000,00, sendo a taxa de juros de 5% ao mês

c) 5 parcelas mensais e sucessivas crescentes em PA a razão de R$ 2.000,00. O valor da primeira prestação é de R$ 10,000,00 e a taxa de juros é de 2,6% ao mês

10) Determinada mercadoria é vendida por R$ 2.500,00 a vista o9u por 20% de entrada mais prestações mensais de R$ 309,00. Sendo a taxa corrente de juros em 2% ao mês, determinar o número de prestação.

Um bom estudo

Prof. Alexandre Wander

 

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