Resumo da aula ministrada aos alunos do curso de Graduação em ciências contábeis na UNIP – SÃO JOSÉ DOS CAMPOS em 21/02/2017, no objetivo de ajudá-los ao aprendizado como um material complementar aos assuntos explorados em sala de aula.

O respectivo material serve de conhecimento ao público em geral que tem interesse no assunto.

Prof. Alexandre Wander

MATEMÁTICA FINANCEIRA – CONCEITOS E APLICABILIDADE

A matemática financeira tem como objetivo estudar o valor do dinheiro no decorrer do tempo; pois ao se dispor a emprestar, o possuidor do dinheiro deve avaliar a taxa de remuneração para os seus recursos devendo atentar para os seguintes fatores:

1) Risco: probabilidade de o tomador do empréstimo, não efetuar o pagamento;

2) Despesas: todas as despesas operacionais, contratuais e tributárias para formalização do empréstimo e á efetivação da cobrança;

3) Inflação: Índice de desvalorização da moeda prevista para o prazo do empréstimo;

4) Ganho ou lucro: Fixado em função das demais oportunidades de investimentos, ou custo de oportunidade; justifica-se pela privação, por parte do seu dono, da utilidade do capital e transferir este direito a um terceiro.

Portanto, a receita de juros deve ser o suficiente para cobrir o risco, as despesas e a perda do poder aquisitivo do capital empregado, além de proporcionar um certo lucro ao seu aplicador. Entretanto, o que ocorre no mundo financeiro é que muitos eventos influenciam em taxas de juros, tais como a estabilidade econômica do pais; suas reservas e controles principalmente da inflação.

O Banco central, como principal órgão da CVM (COMISSÃO DE VALORES MOBILIÁRIOS) atuando como um organismo fiscalizador do mercado financeiro e executor da política monetária do governo, divulga quinzenalmente o relatório FOCUS da economia, analisando o desempenho históricos dos principais indicadores e efetuando projeções futuras, sobre o comportamento da inflação, taxas de juros, produção interna bruta do pais (PIB); entre outros indicadores que auxilia o mercado nas suas tomadas de decisões e comparabilidade com as taxas praticadas pelos diversos agentes financeiros.

Os modelos de capitalização divide-se em duas frentes: a capitalização simples e a capitalização composta.

CAPITALIZAÇÃO SIMPLES:

Capitalização simples: É aquela em que a taxa de juros incide sobre o capital inicial; não incide, pois, sobre o juro acumulado. Neste tipo de capitalização a taxa varia linearmente em função do tempo, ou seja, se quisermos converter a taxa diária em mensal, basta multiplicar por 30; se desejamos converter a taxa mensal em anual basta multiplicar por 12, e assim por diante.

A utilização da capitalização simples é aplicada em países de baixa inflação onde o valor do dinheiro no tempo não sofre fortes desvalorização.

Primeiramente precisamos definir alguns conceitos; básicos de primordiais para o estudo da matemática financeira, e então vamos lá:

CAPITAL: Entende-se por capital o valor inicialmente contratado; correlaciona-se com o valor do bem no seu estágio inicial; sem risco e no seu poder de conversão ou utilização imediata; mediante a transferência de propriedade.

JUROS: É a remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido, de forma simplificada, como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro; ou pela transferência de propriedade sem a efetiva transição monetária no momento da aquisição de um bem.

TAXA DE JUROS: É a razão  entre os juros recebidos ou pagos no final de um determinado período de tempo e o capital inicialmente empregado. A taxa está sempre correlacionada com uma unidade de tempo (dia, mês, trimestre, semestre, ano etc.)

Entendido estes conceitos; temos três modelos que nos ajudam a chegamos a um determinado resultado:

  • APLICABILIDADE DAS FÓRMULAS e TABELAS;
  • UTILIZAÇÃO DA CALCULADORA HP
  • EXCEL

Importante o conhecimento e domínio das fórmulas, pois assim entenderemos como a calculadora HP funciona e como encontra-se parametrizado o Excel em seus cálculos automáticos.

Assim as fórmulas previamente formatadas por estudiosos no assunto nos ajudam no entendimento e aplicabilidade dos conceitos.

Cálculo dos juros: O valor é obtido pela seguintes expressão:

J = C x I x N

onde:

  • J = Juros
  • c = Capital
  • i = taxa
  • n = tempo

Exemplo: Qual o valor dos juros correspondente a um empréstimo de R$ 100.000,00 pelo prazo de 15 meses, sabendo-se que a taxa de juros cobrada é de 3% ao mês?

Fórmula: J = C x I x N

  • Dados
  • C = R$ 100.000,00
  • n =15 meses
  • i = 3%  = 0,03

Substituindo os dados na fórmula, teremos:

  • J = R$ 100.000,00 x 0,03 x 15
  • J = R$ 45.000,00

A partir da fórmula original, poderemos desenvolver as fórmulas derivadas, tais como:

  • Cálculo do tempo:  n = J / (C x i)
  • Cálculo da taxa: i = J / (C x n)
  • Cálculo do capital: C = J / (i x n)

Uma outra definição é a do montante que refere-se a soma do capital inicialmente empregado com o juros referentes ao período de aplicação, assim sendo temos:

  • M = C + J

substituindo, o J (juros) pelo seu desmembramento teremos:

  • M = C + (C x i x n)

Colocando o C em evidência, resultaremos na seguinte fórmula para o cálculo do montante:

  • M = C x (1 + i x n);

A partir desta fórmula podemos elaborar a fórmula derivativa para o cálculo do capital, quando tivermos a informação do montante, tal como apresentamos abaixo:

  • C = M / (1 + i x n)

 

LISTA DE EXERCÍCIOS: 

CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

1) Calcule os juros produzidos por $100, 00, à taxa de 10% ao mês, após dois meses.

Dados

  • C = $ 100,00
  • n = 2 meses
  • i = 10% a.m.

J = C (x) i (x) n

J = 100 x 0,10 x 2 = 20,00

Fórmula do Montante

  • M = C x [1+ i x n]
  • M = 100 x (1 + 0,10 x 2)
  • M = 100 x (1,20)
  • M = 120,00

2) Durante quantos meses o capital de $4.500,00, aplicados a 8% ao mês, produz juros de $1.440,00?

Dados

  • C = $ 4.500,00
  • j = 1.440,00
  • i = 8% a.m.

Fórmula dos Juros (J):

  • J = C x i x n

Formula derivada:

  • N = J / (c x i)
  • N = 1.440,00 (4.500,00 x 0,08)
  • N = 1.440,00 / 360,00
  • N = 4 meses

3) Qual a taxa de juros cujo capital de $590,00, aplicados durante 14 meses, produz juros de $371,70?

Dados

  • C = $ 590,00
  • j = 371,70
  • n = 14 meses

Fórmula dos Juros (J):

J = C x i x n

Formula derivada:

  • i = J / (c x n)
  • i = 371,70 / (590,00 x 14)
  • i = 371,70 / (8.260,00
  • i = 0,045 (x) 100 = 4,5%

4) Dois capitais cuja soma é de $500,00 foram aplicados a juros simples. O primeiro a taxa de 3% ao mês e o segundo a taxa de 5% ao mês. Calcule os dois capitais, sabendo que a soma dos juros produzidos, após um semestre, foi de $114,00.

Dados:

  • Soma dos capitais (x + y) : R$ 500,00
  • Capital x encontra-se aplicado a taxa de 3%
  • Capital y encontra-se aplicado a taxa de 5%
  • Juros de x + y = 114,00
  • Tempo da aplicação: 6 meses

Se x é o capital que foi aplicado à taxa de 3%a.m., então (500-x) é o capital restante (y), que foi aplicado a 5%a.m.

Passaram-se 6 meses, então:

  • x.(3/100).6 + (500-x).(5/100).6 = 114

Dividindo-se todos os membros da equação por 6, temos:

  • x.(3/100) + (500-x).(5/100) = 19

Multiplicando-se todos os membros da equação por 100, temos:

  • 3x + (500-x).5 = 1900
  • 3x + 2500 – 5x = 1900
  • -2x = -600
  • X = 300
  • Y = 200

5) Determine os juros e o montante (valor futuro) correspondente à aplicação do capital R$ 40.000,00 à taxa de juros simples 4% ao mês, pelo prazo de três meses.

Dados

  • C = $ 40.000,00
  • n = 3 meses
  • i = 4% a.m.

Fórmula dos Juros (J):

  • J = C (x) i (x) n
  • J = 40.000 x 0,04 x 3 = 4.800
  • M = C + J = 44.800,00

Fórmula do Montante

  • M = C x [1+ i x n]
  • M = 40.000 x (1,12)
  • M = 44.800,00

6) Determine os juros e o montante (valor futuro) correspondente à aplicação do capital R$ 7.500,00 a taxa de juros simples 9% ao mês, pelo prazo de 36 dias.

Dados

  • C = $ 7.500,00
  • n = 36 dias = 1,20 (Mês)
  • i = 9% a.m.

Fórmula dos Juros (J):

  • J = C x i x n
  • J = 7.500 x 0,09 x 1,20 = 810
  • M = C + J = 8.310,00

Fórmula do Montante

  • M = C x [1+ i x n]
  • M = 7.500 x (1,11)
  • M = 8.310,00

7) Emprestou-se no banco, pela linha de crédito hot Money, a importância de R$ 60.000,00 a taxa de juros de 8% ao mês, no regime de capitalização simples, pelo prazo de 21 dias corridos. Determine o valor a ser pago no vencimento do empréstimo contraído

Dados

  • C = $ 60.000,00
  • n = 21 dias = 0,70 (Mês)
  • i = 8% a.m.

Fórmula do Montante

  • M = C . [1+ i x n]
  • M = 60.000 (1,06)
  • M = 63.360,00

8) Financiaram R$ 700.000,00 por 18 dias, à taxa de juros simples 5% ao mês, Determine o valor a ser pago no vencimento da operação.

Dados

  • C = $ 700.000,00
  • n = 18 dias = 0,60 (Mês)
  • i = 5% a.m.

Fórmula do Montante

  • M = C . [1+ i x n]
  • M = 700.000 (1,03)
  • M = 721.000,00

9) Financiaram R$ 1.600.000,00 por 27 dias, a taxa de juros simples 8% ao mês. Determine o valor a ser pago ao credor do empréstimo

Dados

  • C = $ 1.600.000,00
  • n = 27 dias = 0,90 (Mês)
  • i = 8% a.m.

Fórmula do Montante

  • M = C x [1+ i x n]
  • M = 1.600.000 (1,072)
  • M = 1.715.200,00

10) Obteve um hot Money (empréstimo) de R$ 800.000,00 por 21 dias, a taxa de juros simples 12% ao mês. Determine o valor a ser pago ao credor no vencimento

Dados

  • C = $ 800.000,00
  • n = 21 dias = 0,70 (Mês)
  • i = 12% a.m.

Fórmula do Montante

  • M = C x. [1+ i x n]
  • M = 800.000 (1,084)
  • M = 867.200,00

11) Obteve um empréstimo do tipo hot Money, no valor de R$ 5.000.000,00 por 14 dias, à taxa de juros simples 9% ao mês. Determine o valor a ser pago no vencimento

Dados

  • C = $ 5.000.000,00
  • n = 14 dias = 0,467 (Mês)
  • i = 9% a.m.

Fórmula do Montante

  • M = C . [1+ i x n]
  • M = 5.000.000 (1,042)
  • M = 5.210.000,00

11) Resgataram-se R$ 902.850,00 referente à aplicação efetuada há 63 dias, à taxa de juros simples de 7% ao mês. Calcule o valor aplicado.

Dados

  • M = $ 902.850,00
  • n = 63 dias = 2,10 (Mês)
  • i = 7% a.m.

Fórmula do Montante

  • M = C . [1+ i x n]

Fórmula do Capital

  • C = M / (1 + i x n)
  • C = 902.850,00 / (1,147)
  • C = 787.140,36

12) Resgataram-se R$ 722.944,00 referente à aplicação efetuada por 36 dias, à taxa de juros simples 10,80% ao mês. Calcule o valor aplicado.

Dados

  • M = $ 722.944,00
  • n = 36 dias = 1,20 (Mês)
  • i = 10,8% a.m.

Fórmula do Montante

  • M = C . [1+ i x n]

Fórmula do Capital

  • C = M / (1 + i x n)
  • C = 722.944,00 / (1,130)
  • C = 640.000,00

13) Por quanto tempo devo aplicar R$ 840.000,00 à taxa de juros simples 8,60% ao mês para obter R$ 941.136,00 como montante.

Dados

  • C = $ 840.000,00
  • M = 941.136,00
  • i = 8,60 a.m.
  • N = ?

Fórmula dos Juros (J):

  • J = C x i x n

Fórmula do Tempo (n)

  • n = j / (c x i)
  • n = 101.136,00 / (840.000,00 x  0,086)
  • n = 1,40 (mês) ou 42 dias

14) Determine a que taxa anual de juros simples devo aplicar R$ 528.000,00 para obter como juros a importância de R$ 147.312,00, daqui a 93 dias.

Dados

  • C = $ 528.000,00
  • J = 147.312,00
  • n = 93 dias
  • i = ?

Fórmula dos Juros (J):

  • J = C x i x n

Fórmula da Taxa (i)

  • i = j / (c x n)
  • i = 147.312,00 / (528.000,00 x  93)
  • i = 0,3% (ao dia) ou 9% ao mês

15) Determine a que taxa de juros simples devo aplicar R$ 1.400.000,00 para obter como montante a quantia de R$ 1.618.400,00, no prazo de 39 dias

Dados

  • C = $ 1.400.000,00
  • M = 1.618.400,00
  • n = 39 dias
  • i = ?

Fórmula dos Juros (J):

  • J = C x i x n

Fórmula da Taxa (i)

  • i = j / (c x n)
  • i = 218.400,00 / (1.400.000,00,00 x  39)
  • i = 0,40% (ao dia) ou 12% ao mês

 

Bibliografia básica com adaptações:

  • José Dutra Vieira Sobrinho
  • Editora Atlas
  • Matemática Financeira

 

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